一，协方差和相关系数

如果随机变量X和Y是相互独立的，那么协方差

Cov(X,Y) = E{ [X-E(X)] [Y-E(Y)] } = 0，

这意味着当协方差Cov(X,Y) 不等于 0 时，X和Y不相互独立，而是存在一定的关系，此时，称作X和Y相关。在统计学上，使用协方差和相关系数来描述随机变量X和Y的相关性：

协方差：如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。

，µ是变量的期望。

相关系数：相关系数消除了两个变量变化幅度的影响，只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。

，δ是变量的标准差。

相关系数用于描述定量变量之间的关系，相关系数的符号（+、-）表明关系的方向（正相关、负相关），其值的大小表示关系的强弱程度（完全不相关时为0，完全相关时为1）。

例如，下面两种情况中，很容易看出X和Y都是同向变化的，而这个“同向变化”有个非常显著特征：X、Y同向变化的过程，具有极高的相似度。

1，观察协方差，情况一的协方差是：

情况二的协方差是：

协方差的数值相差一万倍，只能从两个协方差都是正数判断出在这两种情况下X、Y都是同向变化，但是一点也看不出两种情况下X、Y的变化都具有相似性这一特点。

2，观察相关系数，情况一的相关系数是：

情况二的相关系数是：

虽然两种情况的协方差相差1万倍，但是，它们的相关系数是相同的，这说明，X的变化与Y的变化具有很高的相似度。

二，相关的类型

R可以计算多种相关系数，包括Pearson相关系数、Spearman相关系数、Kendall相关系数、偏相关系数、多分格（polychoric）相关系数和多系列（polyserial）相关系数。下面让我们依次理解这些相关系数。

1，Pearson、Spearman和Kendall相关系数

Pearson积差相关系数衡量了两个定量变量之间的线性相关程度，Spearman等级相关系数则衡量分级定序变量之间的相关程度，Kendall相关系数也是一种非参数的等级相关度量。cor()函数可以计算这三种相关系数，而cov()函数可以计算协方差。

cor(x, y = NULL, use = "everything", method = c("pearson", "kendall", "spearman"))  cov(x, y = NULL, use = "everything", method = c("pearson", "kendall", "spearman"))

参数注释：

• x：矩阵或数据框
• y：默认情况下，y=NULL表示y=x，也就是说，所有变量之间两两计算相关，也可以指定其他的矩阵或数据框，使得x和y的变量之间两两计算相关。
• use：指定缺失数据的处理方式，可选的方式为all.obs（遇到缺失数据时报错）、everything（遇到缺失数据时，把相关系数的计算结果设置为missing）、complete.obs（行删除）以及pairwise.complete.obs（成对删除）
• method：指定相关系数的类型，可选类型为"pearson", "kendall", "spearman"

例如，使用R基础安装包中的state.x77数据集，它提供了美国50个州的人口、收入、文盲率（Illiteracy）、预期寿命（Life Exp）、谋杀率和高中毕业率（HS Grad）等数据。

states <- state.x77[,1:6]  > cor(states)             Population     Income Illiteracy    Life Exp     Murder     HS Grad Population  1.00000000  0.2082276  0.1076224 -0.06805195  0.3436428 -0.09848975 Income      0.20822756  1.0000000 -0.4370752  0.34025534 -0.2300776  0.61993232 Illiteracy  0.10762237 -0.4370752  1.0000000 -0.58847793  
                        
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