树型结构是一类重要的非线性数据结构，其中以树和二叉树最为常用，是以分支关系定义的层次结构。树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构；在计算机领域中也有广泛应用，如在编译程序中，可用树来表示源程序的语法结构；在数据库系统中，树型结构也是信息的重要组织形式之一；在机器学习中，决策树，随机森林，GBDT等是常见的树模型。   树（Tree）是n(n≥0)个结点的有限集。在任意一棵树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；（2）当n>1时，其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,...,Tm,其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。 图1 树型结构   在图1，该树一共有13个节点，其中A是根，其余节点分成3个互不相交的子集：T1={B,E,F,K,L},T2={C,G},T3={D,H,I,J,M};T1,T2和T3都是根A的子树，且本身也是一棵树。例如T1，其根为B，其余节点分为两个互不相交的子集；T11={E,K,L},T12={F}。T11和T12都是B的子树。而在T11中E是根，{K}和{L}是E的两棵互不相交的子树，其本身又是只有一个根节点的树。   接下来讲一下树的基本术语。   树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。节点拥有的子树数量称为节点的度（Degree）。在图1中，A的度为3，B的度为2，C的度为1，F的度为0。度为0的结点称为叶子（Leaf）结点。在图1中，K,L,F,G,M,I,J都是该树的叶子。度不为0的结点称为分支结点。树的度是指树内个结点的度的最大值。   结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。在图1,中，D是A的孩子，A是D的双亲。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。在图1中，H,I,J互为兄弟。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。在图1中，M的祖先为A,D,H。对应地，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。在图1中，B的子孙为E,F,K,L。   树的层次(Level)是从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层等。双亲在同一层的结点互为同兄弟，在图1中，K,L,M互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度，在图1中，树的深度为4。   如果将树中结点的各子树看成从左到右是有次序的（即不能交换），则称该树为有序树，否则为无序树。   森林（Forest）是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。在机器学习模型中，决策树为树型结构，而随机森林为森林，是由若干决策树组成的森林。 二叉树的定义与基本性质   二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，它的特点是每个结点至多有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒（有序树）。   根据二叉树的定义，其具有下列重要性质：（这里不给出证明，证明细节可参考清华大学出版社 严蔚敏 吴伟民的《数据结构（C语言版）》） 性质1）在二叉树的第i层上至多有2i−1个结点(i≥1)。 性质2）深度为k的二叉树至多有2k−1个结点(k≥1)。 性质3）对任何一棵二叉树，如果其叶子节点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。   一棵深度为k且有2k−1个结点的二叉树称为满二叉树。深度为k，结点数数n的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。在下图2中，（a）为满二叉树，（b）为完全二叉树。 图2 特殊形态的二叉树   下面介绍完全二叉树的两个特性： 性质4）具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[x]表示不大于x的最大整数。 性质5）如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第一层到最后一层，每层从左到右），则对任一结点i(1≤i≤n),有： （1）如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲结点为[1/2]。 （2）如果2i>n，则结点i无左孩子；否则其左孩子是结点2i。 （3）如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。   介绍完了二叉树的定义及基本性质，接下来，我们需要了解二叉树的遍历。所谓二叉树的遍历，指的是如何按某种搜索路径巡防树中的每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。对于二叉树，常见的遍历方法有：先序遍历，中序遍历，后序遍历，层序遍历。这些遍历方法一般使用递归算法实现。   先序遍历的操作定义为：若二叉树为空，为空操作；否则（1）访问根节点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。   中序遍历的操作定义为：若二叉树为空，为空操作；否则（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。   后序遍历的操作定义为：若二叉树为空，为空操作；否则（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。   层序遍历的操作定义为：若二叉树为空，为空操作；否则从上到下、从左到右按层次进行访问。   如对于下图3， 图3 示例二叉树 其先序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历的结果为： 先序遍历为: 18 7 3 4 11 5 1 3 6 2 4 中序遍历为: 3 7 4 18 1 5 3 11 2 6 4 后序遍历为: 3 4 7 1 3 5 2 4 6 11 18 层序遍历为: [[18], [7, 11], [3, 4, 5, 6], [1, 3, 2, 4]]   关于二叉树的存储结构，可以选择链式存储结构。用于表示二叉树的链表中的结点至少包含3个域：数据域和左、右指针。下面会给出如何利用利用链式存储结构实现二叉树（Python实现）。 二叉树的Python实现   了解了二叉树的基本情况后，笔者使用Python实现了二叉树，其完整的Python代码（Binary_Tree.py）如下： from graphviz import Digraph import uuid from random import sample # 二叉树类 class BTree(object): # 初始化 def __init__(self, data=None, left=None, right=None): self.data = data # 数据域 self.left = left # 左子树 self.right = right # 右子树 self.dot = Digraph(comment='Binary Tree') # 前序遍历 def preorder(self): if self.data is not None: print(self.data, end=' ') if self.left is not None: self.left.preorder() if self.right is not None: self.right.preorder() # 中序遍历 def inorder(self): if self.left is not None: self.left.inorder() if self.data is not None: print(self.data, end=' ') if self.right is not None: self.right.inorder() # 后序遍历 def postorder(self): if self.left is not None: self.left.postorder() if self.right is not None: self.right.postorder() if self.data is not None: print(self.data, end=' ') # 层序遍历 def levelorder(self): # 返回某个节点的左孩子 def LChild_Of_Node(node): return node.left if node.left is not None else None # 返回某个节点的右孩子 def RChild_Of_Node(node): return node.right if node.right is not None else None # 层序遍历列表 level_order = [] # 是否添加根节点中的数据 if self.data is not None: level_order.append([self]) # 二叉树的高度 height = self.height() if height >= 1: # 对第二层及其以后的层数进行操作, 在level_order中添加节点而不是数据 for _ in range(2, height + 1): level = [] # 该层的节点 for node in level_order[-1]: # 如果左孩子非空，则添加左孩子 if LChild_Of_Node(node): level.append(LChild_Of_Node(node)) # 如果右孩子非空，则添加右孩子 if RChild_Of_Node(node): level.append(RChild_Of_Node(node)) # 如果该层非空，则添加该层 if level: level_order.append(level) # 取出每层中的数据 for i in range(0, height): # 层数 for index in range(len(level_order[i])): level_order[i][index] = level_order[i][index].data return level_order # 二叉树的高度 def height(self): # 空的树高度为0, 只有root节点的树高度为1 if self.data is None: return 0 elif self.left is None and self.right is None: return 1 elif self.left is None and self.right is not None: return 1 + self.right.height() elif self.left is not None and self.right is None: return 1 + self.left.height() else: return 1 + max(self.left.height(), self.right.height()) # 二叉树的叶子节点 def leaves(self): if self.data is None: return None elif self.left is None and self.right is None: print(self.data, end=' ') elif self.left is None and self.right is not None: self.right.leaves() elif self.right is None and self.left is not None: self.left.leaves() else: self.left.leaves() self.right.leaves() # 利用Graphviz实现二叉树的可视化 def print_tree(self, save_path='./Binary_Tree.gv', label=False): # colors for labels of nodes colors = ['skyblue', 'tomato', 'orange', 'purple', 'green', 'yellow', 'pink', 'red'] # 绘制以某个节点为根节点的二叉树 def print_node(node, node_tag): # 节点颜色 color = sample(colors,1)[0] if node.left is not None: left_tag = str(uuid.uuid1()) # 左节点的数据 self.dot.node(left_tag, str(node.left.data), style='filled', color=color) # 左节点 label_string = 'L' if label else '' # 是否在连接线上写上标签，表明为左子树 self.dot.edge(node_tag, left_tag, label=label_string) # 左节点与其父节点的连线 print_node(node.left, left_tag) if node.right is not None: right_tag = str(uuid.uuid1()) self.dot.node(right_tag, str(node.right.data), style='filled', color=color) label_string = 'R' if label else '' # 是否在连接线上写上标签，表明为右子树 self.dot.edge(node_tag, right_tag, label=label_string) print_node(node.right, right_tag) # 如果树非空 if self.data is not None: root_tag = str(uuid.uuid1()) # 根节点标签 self.dot.node(root_tag, str(self.data), style='filled', color=sample(colors,1)[0]) # 创建根节点 print_node(self, root_tag) self.dot.render(save_path) # 保存文件为指定文件   在上述代码中，笔者创建了二叉树类BTree，实现了如下方法： 初始化方法：该树存放的数据为data,左子树，右子树为left和right，默认均为None; preorder()方法：递归实现二叉树的先序遍历； inorder()方法：递归实现二叉树的中序遍历； postorder()方法：递归实现二叉树的后序遍历； levelorder()方法：递归实现二叉树的层序遍历； height()方法：计算二叉树的高度； leaves()方法：计算二叉树的叶子结点； print_tree()方法：利用Graphviz实现二叉树的可视化，需要设置的参数为save_path和label，save_path为文件保存路径，默认的保存路径为当前路径下的Binary_Tree.gv,可以用户自己设置；label为是否在Graphviz文件中添加二叉树的左右子树的标签，用于分清哪棵是左子树，哪棵是右子树，可以用用户自己设置。   若我们需要实现图3的示例二叉树，完整的Python代码如下： from Binary_Tree import BTree # 构造二叉树, BOTTOM-UP METHOD right_tree = BTree(6) right_tree.left = BTree(2) right_tree.right = BTree(4) left_tree = BTree(5) left_tree.left = BTree(1) left_tree.right = BTree(3) tree = BTree(11) tree.left = left_tree tree.right = right_tree left_tree = BTree(7) left_tree.left = BTree(3) left_tree.right = BTree(4) right_tree = tree # 增加新的变量 tree = BTree(18) tree.left = left_tree tree.right = right_tree print('先序遍历为:') tree.preorder() print() print('中序遍历为:') tree.inorder() print() print('后序遍历为:') tree.postorder() print() print('层序遍历为:') level_order = tree.levelorder() print(level_order) print() height = tree.height() print('树的高度为%s.' % height) print('叶子节点为：') tree.leaves() print() # 利用Graphviz进行二叉树的可视化 tree.print_tree(save_path='E://BTree.gv', label=True)   OK,当我们运行上述代码时，可以得到该二叉树的一些信息，输出结果如下： 先序遍历为: 18 7 3 4 11 5 1 3 6 2 4 中序遍历为: 3 7 4 18 1 5 3 11 2 6 4 后序遍历为: 3 4 7 1 3 5 2 4 6 11 18 层序遍历为: [[18], [7, 11], [3, 4, 5, 6], [1, 3, 2, 4]] 树的高度为4. 叶子节点为： 3 4 1 3 2 4 该Python代码的优势在于利用Graphviz实现了二叉树的可视化，可以形象直观地得到二叉树的图形。在上面的代码中，我们可以看到，构建二叉树不是很方便，需要手动地一个个结点去添加。那么，如果当我们需要根据某个列表，按列表顺序去构建二叉树时，即二叉树的层序遍历为该列表，那又该怎么办呢？有什么好的办法吗？   答案是必须有！按照某个列表去构建二叉树的完整Python代码如下： from Binary_Tree import BTree # 利用列表构造二叉树 # 列表中至少有一个元素 def create_BTree_By_List(array): i = 1 # 将原数组拆成层次遍历的数组，每一项都储存这一层所有的节点的数据 level_order = [] sum = 1 while sum < len(array): level_order.append(array[i-1:2*i-1]) i *= 2 sum += i level_order.append(array[i-1:]) # print(level_order) # BTree_list: 这一层所有的节点组成的列表 # forword_level: 上一层节点的数据组成的列表 def Create_BTree_One_Step_Up(BTree_list, forword_level): new_BTree_list = [] i = 0 for elem in forword_level: root = BTree(elem) if 2*i < len(BTree_list): root.left = BTree_list[2*i] if 2*i+1 < len(BTree_list): root.right = BTree_list[2*i+1] new_BTree_list.append(root) i += 1 return new_BTree_list # 如果只有一个节点 if len(level_order) == 1: return BTree(level_order[0][0]) else: # 二叉树的层数大于1 # 创建最后一层的节点列表 BTree_list = [BTree(elem) for elem in level_order[-1]] # 从下往上，逐层创建二叉树 for i in range(len(level_order)-2, -1, -1): BTree_list = Create_BTree_One_Step_Up(BTree_list, level_order[i]) return BTree_list[0] #array = list(range(1,19)) array = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ' tree = create_BTree_By_List(array) print('先序遍历为:') tree.preorder() print() height = tree.height() print('\n树的高度为%s.\n'%height) print('层序遍历为:') level_order = tree.levelorder() print(level_order) print() print('叶子节点为：') tree.leaves() print() # 利用Graphviz进行二叉树的可视化 tree.print_tree(save_path='E://create_btree_by_list.gv', label=True) 在上述程序中，笔者利用create_BTree_By_List()函数实现了按照某个列表去构建二叉树，输入的参数array为列表，要求列表中至少有一个元素。运行上述程序，我们得到的26个大写字母列表所构建的二叉树的图像如下： 图4 26个大写字母列表所构建的二叉树 输出的结果如下： 先序遍历为: A B D H P Q I R S E J T U K V W C F L X Y M Z G N O 树的高度为5. 层序遍历为: [['A'], ['B', 'C'], ['D', 'E', 'F', 'G'], ['H', 'I', 'J', 'K', 'L', 'M', 'N', 'O'], ['P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z']] 叶子节点为： P Q R S T U V W X Y Z N O 总结   二叉树是很多重要算法及模型的基础，比如二叉搜索树（BST），哈夫曼树(Huffman Tree)，CART决策树等。本文先介绍了树的基本术语，二叉树的定义与性质及遍历、储存，然后笔者自己用Python实现了二叉树的上述方法，笔者代码的最大亮点在于实现了二叉树的可视化，这个功能是激动人心的。   在Python中，已有别人实现好的二叉树的模块，它是binarytree模块，其官方文档的网址为：https://pypi.org/project/binarytree/ 。其使用的例子如下： binarytree模块演示 关于这个模块的更多功能，可参考其官方文档。当然，笔者还是建议您亲自实现一下二叉树哦，这样能够加深对二叉树的理解~   在后面的文章中，笔者将会介绍二叉搜索树（BST），哈夫曼树(Huffman Tree)等，欢迎大家关注~ 注意：本人现已开通微信公众号： Python爬虫与算法（微信号为：easy_web_scrape）， 欢迎大家关注哦~~https://www.cnblogs.com/jclian91/p/10013557.html