先从最简单的例子开始,假设我们有一组样本(如下图的一个个黑色的圆点),只有一个特征,如下图,横轴是特征值,纵轴是label。比如横轴是房屋面积,纵轴是房屋价格. 现在我们要做什么呢？我们试图找到一条直线y=ax+b,可以尽量好的拟合这些点. 你可能要问了,为啥是直线,不是曲线,不是折线？因为我们的前提就是我们假设数据是有线性关系的啊！一方面,这种假设方便我们用数学知识推导出a,b. 另一方面,假设成折线,曲线尽可能地贴合上图中的点是没有意义的,因为尽可能地贴合了训练数据,只能说明你的模型过拟合了,我们想要得到的是一个尽量通用的模型,能够在我们的测试数据上取得好的表现.即希望我们的模型泛化能力足够强. 这里要插一句,每一种机器学习算法都可以看做是一种看待数据的角度,线性回归就是从"数据可能存在线性关系"这个角度来观察数据. 你当然也可以从别的角度观察数据.这就涉及到了集成学习,可以看看这篇博文. 所以啊,没有尽量多的数据,尽量有意义的数据,尽量有效的特征提取,只有机器学习算法的话,其实没什么用.因为数据太少了,你再怎么从各种角度分析数据也不会取得很好的效果.这也是为啥大数据和机器学习总是被经常一起提到的原因. ok，书归正传,到了这里,问题来了,我们怎么评价"尽量好"地拟合呢？ 对某个样本点,其本来横坐标上是x,纵坐标是y。 我们把x带入我们的直线方程y=ax+b可以得到，此即我们的预测值.我们以这二者之差的大小作为"尽量好"的评价标准.越小说明我们的预测值与真实值差别越小,拟合效果越好. 具体地说,有以下几种评价标准 均方误差MSE 均方根误差RMSE 平均绝对误差MAE R Squared 均方误差MSE 表明了总误差平摊到每一个样本上是多少,即均方误差. 均方根误差RMSE MSE的一个问题是,假如y是有量纲的,MSE的结果把量纲改变了.比如y的单位是dollar,MSE的结果变成了。RSME就避免了这个问题. 平均绝对误差MAE 我们为啥不用这个作为我们评判“尽可能好”的标准呢,因为不好求导. R Squared 假设我们简单的取y的均值,即作为我们的模型,那误差就是。所以表达的就是我们的模型相较于简单的取作为我们的模型有多少差异. 当接近0时,说明我们的模型和直接取均值差别不大 当接近1时,说明我们的模型相当不错,我们预测值和真实值几乎没误差. 当为负时,说明我们的模型比直接取均值还要烂.此时你的数据可能就不存在线性关系. 比较常用的是RMSE和R平方. 现在问题变成了我们怎么求出a,b使得最小.这个函数就是所谓的损失函数.注意这个函数的未知数是a,b。这是很多机器学习算法的一个套路,首先定义出一个合适的损失函数,然后最小化损失函数从而得出我们的模型. 以上,我们是用一个特征做例子的,实际上,当样本有N个特征,道理也是一样的。 那么第i个样本的预测值为我们改写成向量的形势就是 令 则，,此时我们的损失函数变为 转换成矩阵的表达。现在我们的目标变为使这个最小,注意未知数是。注意一下这个是个向量,是一系列值,不是标量.在二维平面中比如中,我们知道求极值即求导数.同样的为了求出的最小值,我们对求导,实际上就是对的每一项求偏导数.一系列复杂的数学推导后,我们可得 其中是多元线性方程的截距(intercept), 到是系数(coefficients). 线性回归具有很好的可解释性,下面通过一个具体例子看一下. Boston House Prices dataset =========================== Notes ------ Data Set Characteristics: :Number of Instances: 506 :Number of Attributes: 13 numeric/categorical predictive :Median Value (attribute 14) is usually the target :Attribute Information (in order): - CRIM per capita crime rate by town - ZN proportion of residential land zoned for lots over 25,000 sq.ft. - INDUS proportion of non-retail business acres per town - CHAS Charles River dummy variable (= 1 if tract bounds river; 0 otherwise) - NOX nitric oxides concentration (parts per 10 million) - RM average number of rooms per dwelling - AGE proportion of owner-occupied units built prior to 1940 - DIS weighted distances to five Boston employment centres - RAD index of accessibility to radial highways - TAX full-value property-tax rate per $10,000 - PTRATIO pupil-teacher ratio by town - B 1000(Bk - 0.63)^2 where Bk is the proportion of blacks by town - LSTAT % lower status of the population - MEDV Median value of owner-occupied homes in $1000's :Missing Attribute Values: None :Creator: Harrison, D. and Rubinfeld, D.L. This is a copy of UCI ML housing dataset. http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Housing This dataset was taken from the StatLib library which is maintained at Carnegie Mellon University. The Boston house-price data of Harrison, D. and Rubinfeld, D.L. 'Hedonic prices and the demand for clean air', J. Environ. Economics & Management, vol.5, 81-102, 1978. Used in Belsley, Kuh & Welsch, 'Regression diagnostics ...', Wiley, 1980. N.B. Various transformations are used in the table on pages 244-261 of the latter. The Boston house-price data has been used in many machine learning papers that address regression problems. **References** - Belsley, Kuh & Welsch, 'Regression diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity', Wiley, 1980. 244-261. - Quinlan,R. (1993). Combining Instance-Based and Model-Based Learning. In Proceedings on the Tenth International Conference of Machine Learning, 236-243, University of Massachusetts, Amherst. Morgan Kaufmann. - many more! (see http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Housing) boston数据集有13个特征,包括了房间数目,房龄，是否临河,离商圈距离等等,一个label，表示房屋价格. 用sklearn中的LinearRegression来做训练. 复制代码 boston = datasets.load_boston() X = boston.data y = boston.target X = X[y < 50.0] y = y[y < 50.0] from sklearn.linear_model import LinearRegression lin_reg = LinearRegression() lin_reg.fit(X, y) print(lin_reg.coef_) #### array([ -1.05574295e-01, 3.52748549e-02, -4.35179251e-02, 4.55405227e-01, -1.24268073e+01, 3.75411229e+00, -2.36116881e-02, -1.21088069e+00, 2.50740082e-01, -1.37702943e-02, -8.38888137e-01, 7.93577159e-03, -3.50952134e-01] print(boston.feature_names[np.argsort(lin_reg.coef_)]) #### array(['NOX', 'DIS', 'PTRATIO', 'LSTAT', 'CRIM', 'INDUS', 'AGE', 'TAX', 'B', 'ZN', 'RAD', 'CHAS', 'RM'], dtype='

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