1.过拟合问题 对于过拟合问题,通常原因是模型选择太过复杂,也有可能是训练数据太少。对于模型太复杂的情况,我们一般有如下考虑:一是通过分析删除部分特征(比如重复多余的特征或者对输出值贡献不太大的特征),但是这样有可能会损失一部分信息。所以,我们可以通过正则化的方法来降低参数值,从而避免过拟合问题。对于过拟合问题的详细描述,可以查看我的另一篇博客机器学习之欠拟合与过拟合。 2.正则化 回顾一下,在回归问题中,在确定模型之后,要根据该损失函数找出使得损失函数最小的参数矩阵。在整个回归过程中,最为重要的一步是确定回归模型。通常情况下,如果选择的模型太简单,就会欠拟合。如果模型选择太复杂,就会过拟合。正则化可以很好地解决之一问题,通过对某些参数进行“惩罚”,就可以达到降低参数值的目的。正则化的方法有很多,这里仅介绍L1正则化和L2正则化,对应的分别是Lasson回归和Ridge回归。正则化就是在损失函数中加入正则项(用Ω(θ)表示),L1正则对应的正则项为:L1=λ∑ni=1|θi|,L2对应的正则项是:L2=λ∑ni=1θ2i。例如线性回归的正则化损失函数为: J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2+Ω(θ)(2.1) 逻辑回归的正则化损失函数为: J(θ)=1m∑i=1m[−y(i)ln(hθ(x(i)))−(1−y(i))ln(1−hθ(x(i)))]+Ω(θ)(2.2) 3.L1正则与L2正则的不同 3.1L1正则 在介绍L1正则之前,我们有必要了解一下L0范数,L0范数表示向量中非零元素的个数,其数学表达式为: ||x||0=∑j=1|x|xj≠0?1:0(3.1.1) 如果我们使用L0范数作为正则项(即Ω(θ)=λ||θ||0),那就说明我们希望权向量w当中的大部分元素都是零。L0正则更通俗的解释是:如果要增加模型复杂度来加强模型的表达能力,对于增加的每个参数,我们都要进行这样的考量----该参数不为0时对初始损失函数(即不加正则项的损失函数)的降低程度是否达到λ。如果不足λ,我们认为增加这样的复杂度是得不偿失的。通过L0正则,可以使模型稀疏化,并且在一定程度上实现了特征选择(如果某个参数为0,相当于摒弃了该参数对应的样本特征)。但是由于L0正则项不连续、不可导、也不是凸函数,所以最小化L0正则损失函数是一个NP问题,相当复杂。所以我们需要更为有效的方式----L1正则。L1范数是L0范数最优凸近似,比L0范数更容易求得最优解。所以我们可以用L1正则来近似代替L0正则。如果采用L1正则,那么损失函数就变为: J(θ)=J(θ)0+12mλ∑i=1n|θi|)(3.1.2) 对参数求偏导数的结果就是: ∂J(θ)∂θ0=∂J(θ)0∂θ0,∂J(θ)∂θi=∂J(θ)0∂θi+1mλsgn(θi)(i=1,2,…,n)(3.1.3) 在梯度下降法中,对应的参数更新方式为: θ0=θ0−α∂J(θ)0∂θ0,θi=θi−α∂J(θ)0∂θi−αmλsgn(θi))(i=1,2,…,n)(3.1.4) 上述各式中,J(θ0)表示初始损失函数(即未添加正则项的损失函数),sgn为符号函数。正则项和θ0无关是因为θ0与任何特征项都无关(即不对应任何xi),所以θ0对过拟合的影响并不大,也就不需要在正则项中引入。 3.2L2正则 L0和L1正则都会使参数矩阵变得稀疏(即存在很多为0的元素),对样本特征有所舍弃,虽然对减小方差很有作用,但通常这会使偏差变大。那么有没有什么方法可以使方差变小的同时,偏差又不会变得太大呢?L2正则就可以解决这一问题。L2范数的数学表达式的直观解释是参数的平方的λ倍求和,如果采用L2范数作为正则项,这会让部分参数值非常小,接近于0,但并不是等于0。这就保证了不会舍弃样本特征,只是让特征对应的权重变小。同样可以起到减小方差的作用,并且偏差不会变得太大。如果采用L1正则,那么损失函数就变为: J(θ)=J(θ)0+12mλ∑i=1nθ2i(3.2.1) 对参数求偏导数的结果就是: ∂J(θ)∂θ0=∂J(θ)0∂θ0,∂J(θ)∂θi=∂J(θ)0∂θi+1mλθi(i=1,2,…,n)(3.1.2) 在梯度下降法中,对应的参数更新方式为: θ0=θ0−α∂J(θ)0∂θ0,θi=θi−∂J(θ)0∂θi−αm2λθi(i=1,2,…,n)(3.2.3) 上述各式中,J(θ0)表示初始损失函数(即未添加正则项的损失函数)。(不要纠结于系数,m和2m都是一样的,只是方便求偏导时约去1/2)。 对于线性回归来说,初始损失函数J(θ)0=12m∑i=0m(y(i)−hθ(x(i)))2。 加入正则项后,最小二乘法求解结果为:θ=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜XTX+λ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢011⋱1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−1XTY。 对于逻辑回归来说,初始损失函数J(θ)0=1m∑mi=1[−yln(hθ(x))−(1−y)ln(1−hθ(x))]。 4.总结 对于过拟合问题,我们可以采用正则化来解决。在机器学习中,我们一般会使用L2正则。在使用正则化的时候,要注意正则化参数λ的选择。如果λ太小,那么正则项几乎就没有起到作用,也就无法解决过拟合问题;如果λ太大,这时除了θ0以外的其他参数θi(i=1,2,…,n)就会很小,最后得到的模型几乎就是一条水平直线,会出现欠拟合问题。 分类: 机器学习之模型评估https://www.cnblogs.com/liyier/p/11847819.html