最近忙里偷闲，每天刷一道 LeetCode 的简单题保持手感，发现简单题虽然很容易 AC，但若去了解其所有的解法，也可学习到不少新的知识点，扩展知识的广度。 创作本文的思路来源于：LeetCode Problem 69. x 的平方根 简述题目大意（不想跳转链接，可以看这里）：给定一个非负整数 x，要求计算并返回 x 的平方根（取整）。例如，输入 4，则输出 2；输入 8，则输出 2（8 的平方根是 2.82842……，由于返回类型是整数，因此小数部分被舍去）。即给定一个 x，我们要计算出 ⌊x−−√⌋。 最简单最直觉的方法自然是从 0 开始遍历，直到找到第一个其平方值大于 x 的数 n，则 n−1 即是答案。对于任意的 x，其取整后平方根一定在 [0,x] 区间上，代码如下： int sqrt(int x) { if (x == 0) return x; int ans = 1; while (ans <= x / ans) ans++; return ans - 1; } 这里需要注意的有两点： 第 6 行代码中，while 的判断条件可以避免溢出。很大概率上，你可能会写成 while (ans * ans <= x)，这更自然、更直观，但当 ans 的值很大时，ans * ans 的结果可能会超过 int 类型的最大表示范围。举个例子，比如我们要计算 x 的取整平方根（其值为 n，即 ⌊x−−√⌋=n），算法会将 ans 遍历到第一个平方超过 x 的值，即 n+1 后停止。如果 x 的值就是 int 类型能够表示的最大值，那么当 ans 遍历到 n+1 时，计算 ans * ans 的结果就超出了 int 类型的表示范围。 由于在 while 的循环判断中，我们用除法代替了乘法，因此 ans 便不能再从 0 开始遍历（否则会导致除零错误）。为此，我们可以在算法开始单独处理 x=0 的情况，然后让 ans 从 1 开始遍历。 作为一道简单题，这种暴力朴素的算法自然是可以 AC 的。但其效率极低（需要遍历 O(n−−√) 次），在 LeetCode 上的时间效率只能快过约 5% 的用户，使用 C++ 语言的运行时间平均要 90ms 以上。因此，本文提供了两种更加高效的算法：二分查找法和牛顿法。 1. 二分查找法 如果你在暴力求解的基础上继续思考，很大概率会想到用二分搜索求解。 没错，思考暴力求解的策略，我们在区间 [0,x] 上搜索解，而搜索区间 [0,x] 天然是有序的，自然可以用二分搜索代替线性搜索，以大大提高搜索效率。 更进一步的，我们还可以缩小我们的搜索区间。直觉告诉我们，对于一个非负整数 x，其 x−−√ 应该不会大于 x/2（例如，25−−√=5，小于 25/2=12.5）。我们可以证明： 设 y=x2−x−−√, 则 y′=12−12x−−√,令 y′=0, 可得驻点 x=1,当 x>1 时,y′>0, 即当 x>1 时 ,y=x2−x−−√ 的值单调递增,可推出, 当 x>1 时,⌊x2⌋−⌊x−−√⌋ 的值单调递增,又因为当 x=2 时,⌊x2⌋−⌊x−−√⌋=0,所以当 x≥2 时,⌊x2⌋−⌊x−−√⌋≥0, 即 x≥2 时，⌊x2⌋≥⌊x−−√⌋(证毕) 通过证明我们可以得知，当所求的 x 大于等于 2 时，sqrt(x) 的搜索空间为 [1,x/2]，对于 x<2 的情况，我们只要特殊处理即可（这里我们也可以得到结论：当 x≥1 时，⌊x2⌋+1≥⌊x−−√⌋，然后单独处理 x<1 的情况）。代码： int sqrt(int x) { if (x < 2) // 处理特殊情况 return x; int left = 1, right = x / 2; while (left <= right) { # 避免溢出，相当于 mid = (left + right) / 2 int mid = left + ((right - left) >> 1); if (mid == x / mid) return mid; else if (mid > x / mid) right = mid - 1; else left = mid + 1; } return right; } 在这里解释一下最后的返回值为什么是 right。对于二分查找，其搜索空间会不断收缩到 left == right（关于二分查找，这里不多赘述，自行手动模拟即可），此时 mid、left和 right 三者的值相等（mid = (left + right) / 2）。根据二分查找的搜索范围的收缩条件可知，left（或 mid）左侧的值都小于等于 ⌊x−−√⌋，right（或 mid）右侧的值都大于 ⌊x−−√⌋，此时（while 的最后一次循环），判断 mid 的平方与 x 的大小，有三种情况： mid == x / mid。则在循环内直接返回 mid 的值。 mid > x / mid。这种情况下，因为 mid 左侧的值都小于等于 ⌊x−−√⌋，而 mid 的值大于 x，则 mid-1 即是答案。而按照分支条件，执行 right = mid - 1，可知 right 的值正是应返回的值。此时，循环结束，应返回 right。 mid <= x / mid。这种情况下，mid、left 和 right 正是计算答案（右边的值都大于 ⌊x−−√⌋）。按照分支条件，执行 left = mid + 1，循环结束。此时，mid 和 right 的值为计算结果。 综合上面三点可知，如果 while 循环结束，则 right 保存的值一定是计算结果。 和之前的暴力法相比，使用二分查找的思想求解 sqrt(x)，只需要循环遍历 O(lgx2) 次；空间复杂度为 O(1)。 2. 牛顿—拉弗森迭代法 牛顿—拉弗森迭代法（简称牛顿法）使用以直代曲的思想，是一种求解函数的方法，不仅仅适用于求解开方计算。当然使用牛顿法求解函数也存在很多坑，但对于求解开方而言，牛顿法是安全的。关于这一方法，你需要掌握一定的高等数学知识，想了解详细的内容，可以参考链接：如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？—马同学的回答 简单的理解，可以参考图片： 图片来源：牛顿法与拟牛顿法 给定任意一个非负整数 n，我们想要找到一个 x=⌊n−−√⌋，这相当于我们要计算函数 f(x)=x2−n 的根。我们首先需要先给出一个猜测值 x0，不妨令 x0=x2+1（证明见第一小节），然后在 f(x0) 处作函数的切线，切线与 x 轴的交点，即为一次迭代后的值 x1。若 x1 不是要得到的结果，则继续迭代，在 f(x1) 处作函数的切线，切线与 x 轴的交点，即为第二次迭代后的值 x2。以此类推，直到得到 xn=⌊n−−√⌋。 现在我们来推导迭代式。对于 xi，其函数值为 f(xi)，则对于点 (xi,f(xi))，可得其切线方程： ⟹⟹y−f(xi)=f(xi)′(x−xi)y−(x2i−n)=2xi(x−xi)y+x2i+n=2xix(1)(2)(3) 又因为 xi+1 为切线与 x 轴的交点，所以令 y=0，可得： xi+1=(xi+n/xi)/2 现在，我们就可以根据迭代式编写代码了： int sqrt(int x) { // 避免除零错误，单独处理 x = 0 的情况 if (x == 0) return x; int t = x / 2 + 1; while (t > x / t) t = (t + x / t) / 2; return t; } 为了确保算法是正确的，我们还需要一些额外的证明。首先，证明迭代式是单调递减的： xi+1−xi=⌊12(xi+nxi)⌋−xi=⌊12(nxi−xi)⌋ 可知，在区间 [x−−√,+∞) 上，xi+1−xi<0。 然后，我们还要证明迭代式是可以收敛到 ⌊n−−√⌋ 的： xi+1=⌊12(xi+⌊nxi⌋)⌋=⌊12(xi+nxi)⌋≥⌊12×2×xi⋅nxi−−−−−−√⌋=⌊n−−√⌋ 因此，当 while 循环结束时，我们可以得到正确的答案。 关于牛顿法求 sqrt(x) 的时间复杂度，笔者目前也没有搞清楚，有了解的童鞋欢迎交流~。不过通过查询资料，以及实际测试，可知牛顿法的时间效率优于二分搜索法。https://www.cnblogs.com/faterazer/p/11868603.html